कॉमी और मैककेबे ऑडिट करते हैं: यह संयोग कितना संभव है?

न्यूयॉर्क टाइम्स की सूचना दी कि आंतरिक राजस्व सेवा ने जेम्स बी. कॉमी, एफबीआई के पूर्व निदेशक और पूर्व उप निदेशक एंड्रयू जी.

इसने बहुत सारे पूरी तरह से उचित प्रश्न उठाए हैं, जिनमें से अधिकतर परिवर्तनशील हैं: संभावनाएं क्या हैं? जैसा कि लेख में बताया गया है, राष्ट्रपति डोनाल्ड जे। ट्रम्प के दो उच्च पदस्थ राजनीतिक दुश्मनों की संयोग से समीक्षा करने की संभावना बहुत कम है।

लेकिन माइनसक्यूल शून्य नहीं है।

अगर हम मान लें कि यह एक संयोग था, तो हम इसे कितना असंभव कह सकते हैं? यहां, हम इस संभावना का यथासंभव गंभीरता से आकलन करने का प्रयास करते हैं।

सबसे पहले, तथ्य: दोनों पुरुषों को राष्ट्रीय अनुसंधान कार्यक्रम (एनआरपी) के तहत ऑडिट के लिए चुना गया था, जो आईआरएस द्वारा प्रत्येक वर्ष आयोजित किए जाने वाले सभी ऑडिट का एक छोटा उपसमुच्चय है। ये ऑडिट टैक्स अनुपालन पर डेटा एकत्र करने के लिए रिटर्न के एक नमूने की जांच करते हैं।

आईआरएस के अनुसार, 2017 में लगभग 5,000 ऐसे ऑडिट हुए, 2018 में 4,000 और 2019 में 8,000 – प्रत्येक वर्ष लगभग 154 मिलियन व्यक्तिगत टैक्स रिटर्न में से चुने गए। श्री कॉमी ने अपने 2017 के टैक्स रिटर्न का ऑडिट किया था; मैककेबे 2019 के लिए वापस आ गया था।

एनआरपी के कई पहलू हमारी गणनाओं को जटिल बनाते हैं, जिसमें आईआरएस लेखापरीक्षकों की नमूनाकरण पद्धति और स्वयं लेखा परीक्षा के विभिन्न वर्ष शामिल हैं। हम इन मुद्दों पर बाद में लौटेंगे। अभी के लिए, हम मान लेंगे कि सभी करदाताओं के पास ऑडिट होने की समान संभावना है और दोनों पुरुषों का 2017 में ऑडिट किया गया था।

यदि यह समस्या प्रायिकता पर पाठ्यपुस्तक में दिखाई देती है, तो आप इस प्रकार पढ़ सकते हैं:

यदि एक विशाल कलश में 154 मिलियन कंचे (प्रति वर्ष दाखिल किए गए टैक्स रिटर्न की अनुमानित संख्या) हैं, और कुछ लाल हैं (उनमें से मिस्टर कॉमी और मिस्टर मैककेबे का प्रतिनिधित्व करते हैं), तो आपकी क्या संभावना है? यदि आप जार से बेतरतीब ढंग से कुछ हज़ार (उस वर्ष में संशोधनों की संख्या) निकालते हैं, तो क्या आप दो या अधिक लाल गेंदें खींचेंगे?

यह जटिल लग सकता है, लेकिन यह है एक अपेक्षाकृत सुविचारित समस्या, जो कुछ ऐसा है जो कई गणित या सांख्यिकी प्रमुख कॉलेज कोर्सवर्क में सामना कर सकते हैं। इन संभावनाओं का अनुमान लगाने के लिए लोगों ने पहले ही समीकरण व्युत्पन्न कर लिए हैं, जैसे नामों के साथ हाइपरज्यामितीय वितरणजिसमें चुनाव ऑडिटिंग और कार्ड काउंटिंग जैसे एप्लिकेशन हैं।

हम केवल कुल गेंदों की संख्या, लाल गेंदों की संख्या और ड्रॉ की संख्या के लिए अपना अनुमान दर्ज कर सकते हैं, और हमें एक संभावना मिलेगी। यदि हम सोचते हैं कि केवल दो लाल गेंदें हैं – अर्थात, यदि हम व्यायाम को सीमित करते हैं अभी-अभी मिस्टर मैककेबे और मिस्टर कॉमी – यह समीकरण 950 मिलियन में 1 की प्रायिकता उत्पन्न करता है।

ये आपके Powerball गेम जीतने की संभावनाओं से बहुत अधिक संभावनाएं हैं। यह भी लगभग अर्थहीन परिणाम है। सबसे अच्छा, यह गलत प्रश्न का सही उत्तर है।

यह समझने के लिए कि हमारे अभ्यास की अंतर्निहित गैरबराबरी को स्वीकार करने की आवश्यकता क्यों है: एक असंभव घटना की संभावना का सबसे अच्छा अनुमान लगाने के लिए, हमें इस तथ्य को अलग रखना चाहिए कि हम पहले से ही जानते हैं कि यह किया था। (ऐसा होने की संभावना 100% है)।

जॉर्डन एलेनबर्गविस्कॉन्सिन विश्वविद्यालय के प्रोफेसर, जिन्होंने गणित और सोच पर किताबें लिखी हैं, ने इसे इस तरह वर्णित किया: “एक असत्य दुनिया में, इस चीज़ के होने की क्या संभावना है, जो हमारे ब्रह्मांड में पहले ही हो चुकी है?”

यह अजीब लग सकता है, लेकिन एक सिक्का उछालने जैसे बुनियादी संभाव्यता अभ्यासों में भी वही समस्याएं दिखाई देती हैं।

यदि आप एक सिक्के को लगातार 20 बार पलटते हैं, तो सिर और पूंछ का विशिष्ट क्रम असाधारण रूप से दुर्लभ है, लगभग एक लाख में एक, लेकिन ऐसा हुआ। और यह कुछ उतार-चढ़ाव का क्रम हमेशा बना रहेगा। यह केवल एक आश्चर्यजनक संयोग है यदि यह वह क्रम है जिसे आपने फ़्लिप करने से पहले चुना था।

उसी तरह, खोज को केवल मिस्टर कॉमी और मिस्टर मैककेबे तक सीमित करना एक गलती होगी, क्योंकि यह संभावना है कि हम इन संभावनाओं की जांच करेंगे यदि हम जानते हैं कि दो वरना इन दो व्यक्तियों के स्थान पर प्रशासन के उल्लेखनीय राजनीतिक शत्रुओं की छानबीन की गई।

एक बेहतर सवाल यह है कि दो या दो से अधिक लोगों के होने की क्या प्रायिकता है? जैसे कि मिस्टर कॉमी और मिस्टर मैककेबे, क्या इस अवधि के दौरान उनकी जांच की जाएगी?

क्या लोगों के इस समूह में FBI के कोई दो वरिष्ठ अधिकारी शामिल होने चाहिए? न्याय मंत्रालय में कौन से दो वरिष्ठ अधिकारी हैं? यह फ्रेमिंग है – एक तथ्यात्मक के बजाय एक व्यक्तिपरक निर्णय – जो अक्सर किसी भी संभाव्य अनुमान को चलाता है, सांख्यिकीय वितरण या नमूना भार के किसी भी विकल्प से अधिक।

नीचे इस संभावना का एक ग्राफ है कि हमारा समीकरण लाल गेंदों की संख्या के लिए अलग-अलग विकल्प देता है, दो (मिस्टर कॉमी, मिस्टर मैककेबे और कोई नहीं) से लेकर 400 तक (अमेरिकियों की संख्या का एक रूढ़िवादी अनुमान श्री ट्रम्प। ट्विटर पर नाम से किया अपमान राष्ट्रपति पद के लिए उनकी उम्मीदवारी की शुरुआत के बाद से)।

मिस्टर कॉमी और मिस्टर मैककेबे के साथ किसे लाल संगमरमर माना जाना चाहिए, इस विकल्प के साथ संभावना तेजी से बढ़ जाती है।

मुद्दा किसी संख्या पर निर्णय लेने का नहीं है, बल्कि यह महसूस करने का है कि समूह के आकार की हमारी पसंद ही हमें उत्तर में ले जाती है। हालांकि कुछ अनुमान निश्चित रूप से दूसरों की तुलना में बेहतर हैं, कई विकल्प बचाव योग्य हैं।

विस्तार प्रसंस्करण

आइए अब इसे कुछ और यथार्थवादी चीज़ों तक सीमित करने का प्रयास करते हैं, और कुछ चीज़ों पर वापस जाते हैं जिन्हें हमने इस मुद्दे की अपनी सरल व्याख्या में अनदेखा कर दिया है।

सबसे पहले, एक ही वर्ष के लिए दो पुरुषों का लेखा-जोखा नहीं किया गया था। 2017 से 2019 तक तीन साल की अवधि को कवर करने के लिए हमारे दायरे का विस्तार करके, हमारे परिणामी बाधाओं में तेजी से वृद्धि हुई है। यह सीधा है: यदि किसी व्यक्ति के पास किसी विशेष वर्ष में संशोधित करने का एक निश्चित अवसर है, तो अधिक वर्षों का अर्थ है संशोधित करने के अधिक अवसर।

दूसरा, हम केवल कम से कम दो लोगों को चुनने की संभावना में रुचि रखते हैं. हम इस संभावना पर विचार नहीं करेंगे कि एक ही व्यक्ति को दो बार चुना जाएगा; कॉमी के खाते के अनुसार, ऐसा लगता नहीं है कि ऑडिट एक वर्ष से अधिक समय तक चल सकता है। ध्यान दें कि हम कम से कम दो लोगों को चुनने की संभावना देख रहे हैं, विशेष रूप से दो नहीं, क्योंकि यह भी मायने रखता है कि एक समूह से तीन या अधिक लोगों को चुना गया था।

अंत में, आईआरएस वास्तव में यादृच्छिक रूप से लोगों को नहीं चुनता है। इसके बजाय, एजेंसी कुछ प्रकार के करदाताओं को चुनती है, जिनमें शामिल हैं उच्च आय वाले लोग, दूसरों की तुलना में अधिक। कर वर्ष 2001 के लिए, एक एनआरपी फॉर्म शामिल है पैदावार आय के 90वें प्रतिशत के आसपास के लोगों की संख्या उस दर से लगभग 1.7 गुना अधिक है जिसकी अपेक्षा की जाती है, क्योंकि प्रतिफल आय से स्वतंत्र रूप से चुने गए थे। यह दर उच्चतम कमाई वाले रैंकों के माध्यम से बढ़ी, शीर्ष 0.5 प्रतिशत आय वाले लोगों के नमूने में औसत आय के निकटतम लोगों की तुलना में दस गुना अधिक होने की संभावना है।

हम शायद यह मान सकते हैं कि श्री ट्रम्प के दुश्मनों के किसी भी समूह को अमेरिकियों के यादृच्छिक नमूने से अधिक लाभ होगा। लेकिन हम अपने समूह में प्रत्येक वर्ष सभी की पूर्ण आय का वास्तविक रूप से अनुमान नहीं लगा सकते हैं। हम यह भी जानते हैं कि आईआरएस ने नमूने में अन्य कारकों पर विचार किया है, जैसे कि भुगतान प्रकार यह करदाता फ़ाइल, और नमूना लेने के तरीके साल-दर-साल बदल सकते हैं। यह हमें आईआरएस के तरीकों से मेल खाने के बारे में बहुत कम मार्गदर्शन देता है। इस प्रकार, हम अपने अनुमानों को आय के आधार पर बिना भार के छोड़ देंगे। लिफाफे के पीछे एक अभ्यास के रूप में, यदि आप इस बारे में चिंतित हैं कि आय इन परिणामों को कैसे प्रभावित करेगी, तो आप परिणामी संभावना को गुणा कर सकते हैं यदि आपको लगता है कि समूह के सदस्यों की आय बहुत अधिक है, और इसे 10 से गुणा करें यदि आपको लगता है कि वे असाधारण रूप से हैं धनवान।

उन सभी को एक साथ रखो

इन विकल्पों को शामिल करते हुए, नीचे दी गई तालिका समूह के आकार के आधार पर कुछ अनुमानित संभावनाएं प्रदान करती है.

वैकल्पिक रूप से, यदि हमारे विकल्प संतोषजनक नहीं हैं, तो हमने आपके लिए एक सरल कैलकुलेटर बनाया है जिससे आप अपनी ऑड्स बना सकते हैं:

तो “सही” अनुमान क्या है?

इस समीकरण के सबसे यथार्थवादी आउटपुट को “बहुत दुर्लभ” या “अत्यंत दुर्लभ” के रूप में सटीक रूप से वर्णित किया जा सकता है, फिर भी त्रुटि का कोई सबूत नहीं है।

“यह एक अनूठा बल और एक अचल चीज की तरह है,” उन्होंने कहा। एंड्रयू गिलमैन, कोलंबिया विश्वविद्यालय में सांख्यिकी और राजनीति विज्ञान के एक प्रोफेसर, जब इस अभ्यास के बारे में सार में बताया गया। “एक तरफ, आप कहते हैं कि यह पूरी तरह से यादृच्छिक है। दूसरी ओर, आपको संदेह है कि ऐसा नहीं है।”

इस मुद्दे पर टाइम्स के साथ बात करने वाले किसी भी अन्य सांख्यिकीविद् की तरह श्री गिलमैन ने कहा कि सबसे बड़ी बाधा कोई विवरण नहीं बल्कि प्रश्न को परिभाषित करना था।

जब हम किसी निश्चित घटना की प्रायिकता की गणना करने का प्रयास करते हैं इसलिये हमें संदेह है कि यह यादृच्छिक नहीं हो सकता है, हम कल्पना करने की कोशिश करने की एक जटिल स्थिति में समाप्त होते हैं कि हमने घटना की संभावना की भविष्यवाणी कैसे की होगी पहले उसने कहा क्या हुआ डेविड स्पीगेलहाल्टर. वह कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय में विंटन सेंटर फॉर कम्युनिकेशन ऑन रिस्क एंड एविडेंस का नेतृत्व करते हैं, जो समाज में मात्रात्मक साक्ष्य के उपयोग के तरीके को बेहतर बनाने के लिए समर्पित संगठन है।

गणित आसान है, उन्होंने कहा, लेकिन प्रश्न शब्द कठिन है, “बकवास” के करीब, बड़े हिस्से में यह परिभाषित करने की कठिनाई के कारण कि हम किस समूह में रुचि रखते हैं।

“ऐसा होने की क्या संभावना है?” यह एक आसान बयान है।” “यह एक परिचित बयान है। लेकिन, वास्तव में, इस प्रश्न का उत्तर देना बहुत कठिन है।”

गणित की अपनी सीमाएं हैं। इस तरह की संभावना का अनुमान लगाने की कोशिश करने की बात, गिलमैन ने कहा, संख्याओं में बहुत अधिक स्टॉक डालना नहीं है, बल्कि परिणाम को आपको और जानने के लिए प्रेरित करना है।

इस मामले में, सबसे अच्छा प्रश्न वह उत्तर नहीं है जिसे आप सांख्यिकी की पाठ्यपुस्तक में देख सकते हैं।

इसके बजाय, श्री गिलमैन ने कहा, पूछने का प्रश्न है: “क्या चल रहा है?”

मैथ्यू कॉलिन रिपोर्ट तैयार करने में सहयोग करें।